El refugio matemático reload: El concepto de derivada como límite

Derivada de una función

Bien ahora vamos a pasar al concepto de derivada de una función en un punto. En los años 1600 Isaac Newton (el vago de la manzana) quería encontrar una forma de describir el movimiento de los objetos a través del espacio-tiempo con alguna teoría matemática, suponiendo que después de diversos experimentos llego a la conclusión de que un cierto sistema acelerado en el vacio se movia en el espacio-tiempo según la función representada mas abajo el tipo se planteo otro problema, bueno dijo...ahora ya sé cuanto espacio en total recorrió mi sistema pero si ahora yo quiero saber cuanto espacio recorrió en un determinado tiempo ¿como lo haría? y propuso lo siguiente:

supongamos que f(x) es el espacio recorrido, que el eje x es el tiempo empleado y que a y b es el intervalo de tiempo. Bueno si quiero saber cuanto espacio recorrió en un determinado tiempo quedara determinado por la pendiente de la recta azul así que tomo el espacio final f(x+h) le resto el inicial f(x) y todo eso sobre el tiempo h quedando algo así:

claro pero esto es para un tiempo relativamente largo lo que no me permite saber si hubo otras variaciones de V entre medio de ese tiempo, bueno pero si yo ahora hago que h sea cada vez mas chiquito, es decir ME ACERCO A X TANTO COMO YO QUIERA PERO SIN TOCARLO haciendo que el tiempo se reduzca a valores próximos al cero, voy a poder obtener el espacio-tiempo recorrido en un instante ínfimo sin correr el riesgo de perderme variaciones en el camino lo que a su vez me va a dar la pendiente exacta de la recta azul que coincide con la variación exacta de espacio en ese instante ínfimo de tiempo.

Entonces señores ¿Con que puedo acercarme a un punto tanto como yo quiera pero sin tocarlo?.... SI! CON EL LIMITE. A esto le dio el nombre de DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO y para este caso en particular lo llamo VELOCIDAD INSTANTÁNEA, quedando la derivada definida de la siguiente forma:

y se le llama f prima o derivada primera de la función en el punto x. a f(x+h)-f(x) se le llamo DIFERENCIAL DE Y normalmente anotado como dy y a h se le llamo DIFERENCIAL DE X normalmente anotado dx por lo que también se puede definir a la derivada como f'(x) = dy/dx La grafica ahora es de esta manera:

cabe destacar que ahora la recta azul es tangente a la curva, es decir la corta en un único punto para un instante de tiempo x. En resumen la derivada de una función nos da la idea da la VARIACIÓN de algo en un determinado tiempo en este caso, pero no siempre el tiempo es el factor principal o independiente. Entonces por ejemplo cuando nosotros viajamos por la ruta en el auto el velocímetro nos da una ida de cuanto varia nuestro espacio en un determinado tiempo o sea la velocidad!.

La derivada es aplicable a todas las ingenierías, ya que la función de la que hablamos puede ser una función de población, una función de movimiento de un auto o de un avión, una función de un circuito eléctrico, una función de una reacción química etc.